前言 变换在图形学中有两个：
Viewing变换也包含两种:
Viewing 视图变换 首先模型不能像“问题”，不能每个人看到的都不一样。所以要先定义好一个场景需要怎么展示。要回答这个问题就要思考一下现实中是怎么样拍一张照片。
第一：找一个好地方，把大家或者物体摆好pose（这一步也就是模型变换） 第二：找一个好的角度用放置好照相机，并让相机往某个方向看（这一步就是视图变换） 最后：“茄子”（这一步就是投影变换）
在图形学中也是经过这三个步骤将图形展示到屏幕上的。 视图变换就是找角度摆照相机的过程。联想到现实中，就是如何摆放一个照相机？
很明显位置是非常重要的，所以第一步就是定义好位置-position(用e ⃗ \vec e e 相机照向哪里也是决定成像的因数，第二步定义相机看向哪里-look-at(用g ⃗ \vec g g 还得定义相机的向上方向，因为如果相机旋转的话，拍出来肯定会有差异，所以定义好向上方向就能把相机固定住(用t ⃗ \vec t t 下一步就是如何去进行视图变换，首先根据初中的“相对运动”物理知识，只要相机与物体的距离，角度等都不发生变化，照出来的图片一定是一样的。不管相机与物体是否发生移动。所以为了让操作简化，大家约定俗成的就是相机永远放置在原点，y轴永远是向上方向，相机永远看向-z方向。进行变换的永远是物体
所以视图变换就是将照相机从当前点变换到原点的变换
首先，将位置e ⃗ \vec e e 第二，将观察的方向g ⃗ \vec g g -z方向上 第三，将向上方向t ⃗ \vec t t y方向上 那g ⃗ \vec g g t ⃗ \vec t t x方向上
用上一篇文章中学到过的矩阵知识，把上述过程写成变换矩阵M v i e w = R v i e w T v i e w M_{view} = R_{view}T_{view} M v i e w = R v i e w T v i e w
平移到原点，自然得是减去位置值(x e , y e , z e x_e, y_e, z_e x e , y e , z e T v i e w T_{view} T v i e w [ 1 0 0 − x e 0 1 0 − y e 0 0 1 − z e 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}
{1}&{0}&{0}&{-x_{e}}\\
{0}&{1}&{0}&{-y_{e}}\\
{0}&{0}&{1}&{-z_{e}}\\
{0}&{0}&{0}&{1}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 − x e − y e − z e 1 ⎦ ⎤
接下来就是旋转矩阵，将g ⃗ \vec g g -z，t ⃗ \vec t t y，g ⃗ \vec g g t ⃗ \vec t t x。但是把任意轴旋转到规范轴，比如说到-z（0，0，-1）非常困难，但反过来写却相对容易：比如将x（1，0，0）旋转到g ⃗ \vec g g t ⃗ \vec t t R v i e w − 1 R_{view}^{-1} R v i e w − 1 [ a b c 0 d e f 0 f h i 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}
{a}&{b}&{c}&{0}\\
{d}&{e}&{f}&{0}\\
{f}&{h}&{i}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{1}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ a d f 0 b e h 0 c f i 0 0 0 0 1 ⎦ ⎤
2、第一步将x轴（1,0,0)旋转到g ⃗ \vec g g t ⃗ \vec t t x轴向量表示为[ 1 0 0 0 ] \begin{bmatrix}
{1}\\
{0}\\
{0}\\
{0}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 ⎦ ⎤ R v i e w − 1 R_{view}^{-1} R v i e w − 1 [ x g ⃗ x t ⃗ b c 0 y g ⃗ x t ⃗ e f 0 z g ⃗ x t ⃗ h i 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}
{x_{\vec g x \vec t}}&{b}&{c}&{0}\\
{y_{\vec g x \vec t}}&{e}&{f}&{0}\\
{z_{\vec g x \vec t}}&{h}&{i}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{1}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ x g x t y g x t z g x t 0 b e h 0 c f i 0 0 0 0 1 ⎦ ⎤
3、第二步将y轴(0,1,0)旋转到t ⃗ \vec t t R v i e w − 1 R_{view}^{-1} R v i e w − 1 [ x g ⃗ x t ⃗ x t ⃗ c 0 y g ⃗ x t ⃗ y t ⃗ f 0 z g ⃗ x t ⃗ z t ⃗ i 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}
{x_{\vec g x \vec t}}&{x_{\vec t}}&{c}&{0}\\
{y_{\vec g x \vec t}}&{y_{\vec t}}&{f}&{0}\\
{z_{\vec g x \vec t}}&{z_{\vec t}}&{i}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{1}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ x g x t y g x t z g x t 0 x t y t z t 0 c f i 0 0 0 0 1 ⎦ ⎤
4、第三步将z轴(0,0,1)旋转到-g ⃗ \vec g g R v i e w − 1 R_{view}^{-1} R v i e w − 1 [ x g ⃗ x t ⃗ x t ⃗ x − g ⃗ 0 y g ⃗ x t ⃗ y t ⃗ y − g ⃗ 0 z g ⃗ x t ⃗ z t ⃗ z − g ⃗ 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}
{x_{\vec g x \vec t}}&{x_{\vec t}}&{x_{\vec {-g}}}&{0}\\
{y_{\vec g x \vec t}}&{y_{\vec t}}&{y_{\vec {-g}}}&{0}\\
{z_{\vec g x \vec t}}&{z_{\vec t}}&{z_{\vec {-g}}}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{1}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ x g x t y g x t z g x t 0 x t y t z t 0 x − g y − g z − g 0 0 0 0 1 ⎦ ⎤
5、旋转矩阵是正交矩阵，所以求逆变换就是其转秩。R v i e w − 1 R_{view}^{-1} R v i e w − 1 R v i e w R_{view} R v i e w R v i e w R_{view} R v i e w [ x g ⃗ x t ⃗ y g ⃗ x t ⃗ z g ⃗ x t ⃗ 0 x t ⃗ y t ⃗ z t ⃗ 0 x − g ⃗ y − g ⃗ z − g ⃗ 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}
{x_{\vec g x \vec t}}&{y_{\vec g x \vec t}}&{z_{\vec g x \vec t}}&{0}\\
{x_{\vec t}}&{y_{\vec t}}&{z_{\vec t}}&{0}\\
{x_{\vec {-g}}}&{y_{\vec {-g}}}&{z_{\vec {-g}}}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{1}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ x g x t x t x − g 0 y g x t y t y − g 0 z g x t z t z − g 0 0 0 0 1 ⎦ ⎤
投影变换 人已经摆好pose，相机也已经准备就绪了。所以接下来就是拍照了！拍照就是将三维的物体变成二维的一张照片，这个过程就是投影。
投影变换有两个模式：
正交投影 透视投影
这两种投影的本质区别就是是否有“近大远小”的性质。有这种性质就是透视投影，否则就是正交投影。
如图所示：
右边为正交投影：假设摄像机在无限远的地方，形成区域的近处平面与远处平面是大小一致的。
正交投影 正交投影比较简单，只需要将区域中的物体压扁在近处的平面上就行了。
将摄像机放置到原点，看向-Z方向，向上方向为y轴方向。 对比正交投影来说，将物体压扁的操作只需把z轴坐标放弃掉就行 然后将所有物体移动和缩放在[-1, 1]的矩形框中。 在图形学中，先定义一个立方体。立方体的左（l）右(r)在x轴上，上(t)下(r)在y轴上，远(f)近(n)在z轴上。然后将这个立方体通过平移和缩放变换到原点的[ − 1 , 1 ] 3 [-1, 1]^3 [ − 1 , 1 ] 3
仔细看远和近，上面说到摄像机是看向-z方向的。所以说一个面离得远，z值是更小的。相反一个面离的近说明z值反而是更大的。所以说f是小于n的。
用矩阵的方式将上述变换写出来。r + l 2 \frac{r+l}{2} 2 r + l t + b 2 \frac{t+b}{2} 2 t + b n + f 2 \frac{n+f}{2} 2 n + f M t M_t M t [ 1 0 0 − r + l 2 0 1 0 − t + b 2 0 0 1 − n + f 2 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}
{1}&{0}&{0}&{-\frac{r+l}{2}}\\
{0}&{1}&{0}&{-\frac{t+b}{2}}\\
{0}&{0}&{1}&{-\frac{n+f}{2}}\\
{0}&{0}&{0}&{1}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 − 2 r + l − 2 t + b − 2 n + f 1 ⎦ ⎤
2、然后通过scale变换将立方体缩放为[ − 1 , 1 ] 3 [-1, 1]^3 [ − 1 , 1 ] 3 2 r − l \frac{2}{r-l} r − l 2 2 t − b \frac{2}{t-b} t − b 2 2 n − f \frac{2}{n-f} n − f 2 M s M_s M s [ 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 n − f 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}
{\frac{2}{r-l}}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{\frac{2}{t-b}}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{\frac{2}{n-f}}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{1}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ r − l 2 0 0 0 0 t − b 2 0 0 0 0 n − f 2 0 0 0 0 1 ⎦ ⎤
3、最后得出M o r t h o = M s M t M_ortho = M_s M_t M o r t h o = M s M t
透视投影 透视投影是图形学中用的最广泛的投影，满足“近大远小”这个性质的投影就是透视投影。
一般认为把摄像机放置在一个点上，从摄像机出发连出一个四棱锥，从四棱锥中某个深度到另外一个深度的这块区域，把这片区域所有东西都显示到近处的平面上就叫做透视投影。
n和f）两个面。如图所示，透视投影也就是将远处面上的点变换在近面上的点。通过将两点连线可以直观的看出点变换的规律。可以将透视投影分为两个步骤：
首先，将远面通过缩放变换将其变换与近面一样大小的面，将透视投影变为正交投影 第二，进行正交投影
从侧面看
y，看向-z方向。直观的看出y ′ y^{'} y ′ n z \frac{n}{z} z n
同理求得x ′ x^{'} x ′ n z \frac{n}{z} z n z z z [ x y z 1 ] \begin{bmatrix}
{x}\\
{y}\\
{z}\\
{1}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ x y z 1 ⎦ ⎤ [ n x / z n y / z ? 1 ] \begin{bmatrix}
{nx/z}\\
{ny/z}\\
{?}\\
{1}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ n x / z n y / z ? 1 ⎦ ⎤
回顾一下上一篇文章的内容，在齐次坐标中[ x y z 1 ] \begin{bmatrix}
{x}\\
{y}\\
{z}\\
{1}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ x y z 1 ⎦ ⎤ [ n x / z n y / z ? 1 ] \begin{bmatrix}
{nx/z}\\
{ny/z}\\
{?}\\
{1}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ n x / z n y / z ? 1 ⎦ ⎤ z得到的仍然是相同的点[ n x n y ? z ] \begin{bmatrix}
{nx}\\
{ny}\\
{?}\\
{z}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ n x n y ? z ⎦ ⎤ M p e r s p − > o r t h o M_{persp->ortho} M p ers p − > or t h o [ n 0 0 0 0 n 0 0 ? ? ? ? 0 0 1 0 ] \begin{bmatrix}
{n}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{n}&{0}&{0}\\
{?}&{?}&{?}&{?}\\
{0}&{0}&{1}&{0}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ n 0 ? 0 0 n ? 0 0 0 ? 1 0 0 ? 0 ⎦ ⎤
那么z到底是怎么变换？上面说透视投影是将远面挤压成和近面一样的大小，所以能得出两个结论
在近面上的所有点经过变换后都不会变换 在远面上点中的z经过变换后也不会发生变换
根据第一点性质近面上的点经过变换后[ x y n 1 ] \begin{bmatrix}
{x}\\
{y}\\
{n}\\
{1}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ x y n 1 ⎦ ⎤ [ n x n y n 2 n ] \begin{bmatrix}
{nx}\\
{ny}\\
{n^{2}}\\
{n}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ n x n y n 2 n ⎦ ⎤ [ x y n 1 ] \begin{bmatrix}
{x}\\
{y}\\
{n}\\
{1}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ x y n 1 ⎦ ⎤ n 2 n^2 n 2 n 2 n^2 n 2 根据第二个性质，取远面的中心点z，也就是[ 0 0 z 1 ] \begin{bmatrix}
{0}\\
{0}\\
{z}\\
{1}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 0 0 z 1 ⎦ ⎤ [ 0 0 f 2 f ] \begin{bmatrix}
{0}\\
{0}\\
{f^{2}}\\
{f}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 0 0 f 2 f ⎦ ⎤ f 2 f^2 f 2
结合这两个展开式
\begin{cases}
An + B = n^2\\
Af + B = f^2\\
\begin{cases}
A = n + f\\
B = -nf\\
最终得出M p e r s p − > o r t h o M_{persp->ortho} M p ers p − > or t h o [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ] \begin{bmatrix}
{n}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{n}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{n+f}&{-nf}\\
{0}&{0}&{1}&{0}\\
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f 1 0 0 − n f 0 ⎦ ⎤
然后透视投影的矩阵M p e r s p = M o r t h o M p e r s p − > o r t h o M_{persp} = M_{ortho}M_{persp->ortho} M p ers p = M or t h o M p ers p − > or t h o
到这里viewing变换已经讲清楚了！